In deze terugkerende serie licht theoretisch natuurkundige Paul de Lange de belangrijkste en meest hersenkrakende paradoxen in de wetenschap uit, omdat deze ons paradoxaal genoeg veel vertellen over de wetenschap zelf.

Getallen zijn de lijsttrekkers van de wiskunde: iedereen kent getallen en weet wat je van ze kan verwachten. Ze zijn logisch, uitgevonden om stelselmatig en nauwkeurig te tellen en te beschrijven wat we zien. Getallen kunnen geen geheimen bevatten, of eigenwijs worden. Dat de studie der wiskunde bestaat, bewijst dat bovenstaande uitspraak pertinent onjuist is. Getallen hebben een eigen wil, en zijn juist notoir ondoorgrondelijk. Getallen hebben vooral de neiging zich in groepsverband mysterieus te gedragen, en als de groep oneindig groot wordt, dan wordt het al snel een spookhuis.

Om te laten zien hoe geheimzinnig en spookachtig het oneindige kan worden, bedacht de wiskundige David Hilbert in de vorige eeuw een gedachte-experiment, met in de hoofdrol precies zo’n spookhuis: een hotel met een oneindig aantal kamers. Natuurlijk is dit direct ietwat absurd: oneindig aantal kamers? Hebben we daar geen oneindig groot gebouw voor nodig? Dus een oneindig grote planeet? En ga zo maar door? Ja, dat klopt allemaal wel, maar het is een gedachte-experiment, en enkel bedoeld om wat te leren over het oneindige. Zeikerd.

Dus: een oneindig hotel, met oneindig aantal kamers. Met allemaal een kamernummer. Het hotel heet Hilberts Hotel. En stel nu eens dat dit hotel helemaal is volgeboekt. Elke kamer is bezet. Op een dag komt er een gast aan in Hilberts Hotel, en vraagt om een kamer. Helaas! Volgeboekt. Maar de eigenaar van Hilberts hotel is een wiskundige, en kan bovendien wel wat extra klandizie gebruiken. Dus bedenkt hij het volgende: hij maakt even snel oneindig veel telefoontjes naar alle gasten van zijn hotel, en vraagt of ze één kamernummer kunnen opschuiven. Dus de gasten van kamer 1 verhuizen naar nummer 2. En die van kamer 2 naar kamer 3. Enzovoorts. Op deze manier komt kamernummer 1 vrij, en kan de gast dus inchecken! Bingo.

Via Mathcs.com

Nu is de wereld waar het Hilbert Hotel staat, waar oneindigheid iets heel gewoons is en hoteleigenaren makkelijk oneindig veel telefoontjes kunnen plegen, nog vreemder: er arriveert een oneindige bus, volg met oneindig veel toeristen die allemaal een kamer willen in Hilberts Hotel. Nog steeds is Hilberts Hotel volgeboekt. Toch wil de eigenaar al deze toeristen een plek aanbieden, en hij bedenkt het volgende: hij belt nogmaals alle gasten en vraagt ze wederom te verhuizen (de reviews op yelp.com gaan er niet op vooruit zo, maar goed). Hij vraagt deze keer de gasten als volgt te verhuizen: neem je kamernummer, verdubbeld dat nummer, en verhuis naar dat kamernummer. Dus nummer 1 gaat naar nummer 2, nummer 2 naar nummer 4, nummer 3 naar nummer 6, etcetera, etcetera.

Op deze manier komen dus alle oneven kamernummers vrij. En dat zijn oneindig veel nummers, en dus kunnen alle – oneindig veel – toeristen in de bus inchecken! Dit duurt dan weer oneindig lang – ik snap dat je liever simpelweg een Airbnb zou boeken in die situatie. Maar uiteindelijk krijgt hij de hele bus in het Hilbert Hotel.

Dit is het punt dat Hilbert wilde maken: oneindig is niet alleen hetzelfde als oneindig plus 1 (of: ∞ = ∞ + 1), maar zelfs: oneindig is hetzelfde als oneindig plus oneindig (∞ = ∞ + ∞)! De logica van het Hilbert Hotel, oftewel de logica van het oneindige, is zo anders dan de logica van het gewone hotel (waar je ook wel eens lang moet wachten en geïrriteerd raakt door opdringerig personeel, maar ook weer niet tot in het oneindige). Je hebt niets aan de regels die je hebt geleerd van het tellen in onze ‘eindige’ wereld.

Als kers op de oneindige taart liet Hilbert zien dat zelfs een oneindig lange stoet van bussen, ieder vol met oneindig veel toeristen (denk hier aan het soort busladingen dat elk weekend naar de Keukenhof afreist) nog steeds helemaal past in het spookachtige Hilbert Hotel. In wiskundige taal: ∞ = ∞ + ∞ + ∞ + etc. (en dit dus oneindig lang), oftewel: ∞ = ∞ × ∞.

Natuurlijk slaat Hilberts gedachte-experiment nergens op. Maar het leert ons dat het oneindige vol paradoxen zit, en dat de regels van het oneindige heel anders zijn dan de regels van het eindige. En het leert ons dat we maar wat dankbaar mogen zijn dat we in eindige wereld leven, waar we maar eindig lang hoeven te wachten voordat we geholpen worden, en maar een eindig aantal toeristen in een eindig aantal bussen in eindige hotels elk weekend Amsterdam overspoelen. Ook al lijkt wat Hilberts wereld in dat opzicht steeds dichterbij te komen.

Klik hier voor meer van deze column.